Lærerfremstillede artefakter til matematikundervisningen

I denne artikel vil jeg dykke ned i nogle muligheder, der kan være, for at  matematiklæreren eller matematikfagteamet indtager makerteknologierne for at designe deres egne konkrete materialer til brug i matematikundervisningen. Jeg
har længe tænkt på, hvordan mon matematikundervisningen ville se ud, hvis  læreren kunne designe konkrete materialer til brug i undervisningen, for at give eleverne mulighed for at få noget i hænderne, som kunne understøtte specifikke
faglige pointer konkret?

Matematikundervisning gør ofte brug af artefakter både analoge og digitale. Clements (2000) opererer med to typer konkret viden, hhv. sensory-concrete; som bruges, når man anvender konkrete materialer til at skabe mening
med et begreb, og integrated-concrete; hvor mening skabes, mens man lærer. Det, som skaber forståelse i sidste vidensform, er, hvor meningsfulde forbindelser kan skabes til andre begreber og situationer. Clements påpeger, at manipulativer ikke af sig selv skaber læring, men kræver refleksion initieret af læreren, og at gode manipulativer er dem, der støtter eleverne i at bygge, styrke og forbinde forskellige repræsentationer af matematiske ideer.

Det er sikkert kendt viden for alle matematiklærere, at selvom eleverne får nogle konkrete materialer i hænderne, er det ikke sikkert, at de nødvendigvis lærer noget, forstår begreber bedre, og der er en risiko for, at der går leg i den. Hvem har ikke oplevet elever fortabe sig i byggeri med centicubes og puslespilsleg med
tangram-brikker eller lign.?

I forhold til geometri er jeg særligt nysgerrig på, om nogle af de geometriske egenskaber, eleverne gerne skal gøre sig erfaringer med og opnå erkendelser om, kan understøttes af konkrete artefakter. I det følgende vil jeg folde et par eksempler ud på nogle af mine overvejelser og erfaringer hermed.

Mange matematiklærere kender sikkert adskillige af de visuelle beviser, der findes for Pythagoras’ sætning. Jeg har sat mig for at undersøge, om eleverne kan opnå erkendelser om den berømte sætning og det at bevise ved at møde et af de geometriske beviser i fysisk format via puslespil. Jeg vender tilbage til puslespillene lidt senere.

Som optakt til at præsentere puslespillene tager jeg jer med ud i to 8. klasser på en skole på Fyn. Den næste optakt er afprøvet i de to 8. klasser, og I får i korte træk elevernes vej frem til deres møde med puslespillene. Før eleverne kan arbejde med beviser for Pythagoras, må de have gjort sig erfaringer med Pythagoras. De kan fx gøre det ved at arbejde med at finde areal af kvadrater på sømbræt. Disse kvadrater kan ligge pænt og siden helt blive tiltet, så vi kommer til at undersøge arealer af kvadrater, som ligger skråt i sømbrættet (se figur 1).

Figur 1 (kvadrater, som ligger ’lige’ og ’tiltet’ i gitteret på sømbræt)

Når eleverne har undersøgt arealerne og fundet smarte måder at finde arealet på, er der ofte to måder, som dukker op.

1. Uden-om-metoden: Eleverne laver et kvadrat, som ligger lige i gitteret uden om,
finder arealet af dette og de fire små retvinklede trekanter, som dannes uden om
det tiltede kvadrat (se figur 2).

2. Inden-i-metoden: Eleverne skaber et kvadrat, som ligger lige i gitteret inden i, finder arealet af dette og de fire små retvinklede trekanter, som dannes (se figur 2).

Uden-om-metoden rummer et ret stort potentiale for at kunne koble sig til Pythagoras’ sætningefterfølgende, så i en fællesgørelse vil det være givtigt, at alle elever prøver at finde skrå arealer ved hjælp af uden-om-metoden. Den er illustreret til venstre på figur 2.

Figur 2 (uden-om og inden-i-metoderne illustreret)

Herfra kan eleverne arbejde den anden vej − hvor lange er siderne i de tiltede kvadrater? De fleste opfinder næsten af sig selv behovet for kvadratroden af arealet. Eleverne kan udfordres til at finde systemer i tiltede kvadraters areal sådan, at de skal kunne opstille en regel for arealet, hvis man kender tiltningen − altså hvor meget går man til højre og op for at ramme næste hjørne i kvadratet?
Eleverne kan først undersøge, hvor tiltningen er 1 til højre og 1, 2, 3, … osv. op. Så 2 til højre og 1, 2, 3… osv. op og fortsætte. I starten vil de arbejde ud fra en  rekursiv tænkning − den vokser med fx x fra figur til figur. Men læreren kan guide ved at lede opmærksomheden mod en lille retvinklet trekant, der ligger i uden-om metoden, og fx fortælle, at den direkte kan bruges til at forudsige arealet af  kvadratet.
Eleverne kan i grupper undersøge sammenhænge mellem den lille retvinklede trekant og kvadratets areal, og flere kan komme frem til den sammenhæng, som beskrives via Pythagoras’ sætning.
Herefter kan eleverne få til opgave at undersøge, hvornår Pythagoras’ sætning er sand. Det kan de fx gøre i en GeoGebrafil som illustreret på figur 3. Filen kan tilgås på https://www.geogebra.org/m/uxtpp9up

Figur 3 (to forskellige skærmklip fra GeoGebra fil med Pythagoras’ sætning (Teglskov)) 

Man kan aldrig helt styre, hvad eleverne får øje på, når de arbejder med at undersøge egenskaber i en dynamisk fil. Filen her er konstrueret, så de tre blå punkter kan trækkes helt frit rundt. Kvadraterne på siderne følger med, og det er hele tiden den længste side, der får et kvadrat med rød farve. Pythagoras’ sætning vises, og der står, om sætningen er sand eller falsk. Eleverne kan opdage, at der er en sammenhæng mellem, om trekanten er retvinklet eller ikke. Men undervejs kommer de til at få øje på andre ting. Nogle spekulerer fx på, om det handler om hele tal eller decimaltal, eller om det er lige eller ulige tal. Her er læreren på arbejde med hele tiden at optage de hypoteser, eleverne opstiller, og udfordre dem, så de havner i situationer, hvor deres hypotese kan be- eller afkræftes. Nogle elever stopper og stiller sig tilfredse med første hypotese, også selvom denne nemt kan afkræftes.
Ovenstående var en lang indflyvning til at skabe en situation, hvor eleverne på 8. årgang nu er klar til at arbejde med bevis for Pythagoras’ sætning. Eleverne har inden dette forløb også arbejdet med beviser, og de har arbejdet målrettet med kvalitetsforskelle mellem argumenter med konkrete eksempler med tal og argumenter med begrundelser ud fra egenskaber. I Matematik Nr. 5 2023 bragte fagbladet min artikel: Beviser og ræsonnementer, hvad skal vi med dem, og hvad er det for en størrelse i grundskolen? Her præsenterer jeg Harel og Sowders (2007) overbevisningsskemaer (proof schemes). I undervisningsforløbet med Pythagoras’ puslespil var eleverne klar over, at deduktive argumenter var af bedre kvalitet end empiriske og visuelle.

Nu til puslespillene. Figur 4 viser fire sæt forskellige Pythagoras’ puslespil. Puslespillene hører sammen to og to, som de ligger. Dvs. der er to puslespil i et sæt, men i hver sin ramme. De er skåret i akryl, og de er skåret i tre forskellige farver, så det var muligt at samle sæt, sådan at de to små kvadrater fik en farve, det store kvadrat en anden og de otte små trekanter en tredje farve. Puslespillene er lagt i en lille ramme, som er limet på en bund. De passer således ’perfekt’ ned i rammen.

Figur 4 Pythagoras’ puslespil (Teglskov)

Eleverne får nu til opgave at skulle komme med en forklaring på, hvorfor de to rammer af matematikere kan ses som et bevis for Pythagoras’ sætning. Eleverne går til puslespillene med stor iver. De er ret begejstrede for akryl som materiale, og flere udtrykker, at det er virkelig fedt at røre ved. De tager brikkerne ud og konstaterer efterhånden enstemmigt, at de to puslespil i hvert sæt altså har samme areal. De fylder det samme. Læreren foreslår, at man så kan sætte et lighedstegn mellem det ene og det andet puslespil. Læreren leder elevernes opmærksomhed på lighedstegnet og trækker frem, at det bruger man jo fx i ligninger.

Herefter går eleverne i gang med at beskrive de to rammer. Figur 5 viser en elevs arbejde. Eleven har fået øje på, at der er noget, som er ens i begge puslespil. De der trekanter er jo lige store, konstaterer hun, mens hun peger på de fire orange trekanter i hver ramme. Altså kan de godt tages væk i begge rammer. Det må så betyde, at de to små lyserøde kvadrater har samme areal som det store blå kvadrat.

Figur 5 (elevarbejde med Pythagoras’ puslespil)

Samtidig er elevens makker gået i gang med at oversætte puslespilsbrikkerne til algebra. Dette er vist på figur 6.

Figur 6 (oversættelse af puslespilsbrikker til algebra)

Under tegninger skriver han

a · b · 2 + c^2 = a · b · 2 + a^2 + b^2

Han konstaterer, at a · b · 2 står begge steder, og at man derfor kan sige, at c^2 = a^2 + b^2. Med almindelige ord betyder det ifølge ham, at arealet af de to små kvadrater er det samme som arealet af det store kvadrat. Jeg har siden de to 8. klasser afprøvet puslespillene på andre elever i udskolingen, og flere gange lyder den velkendte: ’nårh…’ eller ’aha…’ Den lyd, der fremkommer, når det går op for eleven, at arealet af de to små kvadrater nødvendigvis må være det samme som arealet af det store kvadrat. Nårh… lyden er en skøn lyd for en matematiklærer, og en lyd vi gerne vil høre ofte fra eleverne.

Pythagoras i puslespilsform som eksemplet her rummer mulighed for at sætte eleverne i situationer, hvor de skal forklare og beskrive en matematisk egenskab eller et fænomen. Men der skal være et solidt forarbejde, som gør, at eleverne er klar til at skabe mening med puslespillene. Og læreren skal være i stand til at koble til andre områder af matematikken, som fx areal og ligningsløsning i det her tilfælde. Der sker noget interessant med stemningen i rummet, når puslespillene kommer ind. Det legende træder med ind for en stund, men det er også her, risikoen opstår. Risikoen for, at eleverne bare giver sig til at lege og dermed ikke når en aha-oplevelse eller en erkendelse om beviset for Pythagoras’ sætning. Det kan fungere, men det kalder også på en lærer, som er på bolden og hele tiden er i bevægelse mellem eleverne. Pyhagoras’ puslespil er afprøvet, og jeg vil herefter give et par eksempler, som jeg endnu ikke har nået at afprøve, men som læseren af denne artikel måske har lyst til at prøve kræfter  med.

Hvis man arbejder med fladedækning og tessellationer, kan det være givtigt, at eleverne får rigtig godt fat i, hvad det er, der gør, om en figur kan være fladedækkende eller ej, og at de får godt fat i selve mekanismen, når der tesseleres. Hvis man forestillede sig at laserskære en masse ens firkanter, som var tilpas skæve − dvs. ingen rette vinkler og ingen sider er lige lange. Figur 7 viser et eksempel på en sådan firkant og en række laserskårede firkanter af samme slags, skåret i akryl.

Figur 7 (’skæv’ firkant til tesselation − ingen rette vinkler og ingen sider er lige lange)

Eleverne kan ved at få firkanterne i hånden konkret sidde og undersøge, hvordan firkanten kan tesselere, og de kan få øje på, at i samlingen er netop en af hver af firkantens vinkler. Vinkelsummen i en sådan firkant kan eleverne forhåbentlig huske eller har som forhåndsviden. Det er måske ikke så fjernt fra at klippe ud i pap, men laserskærerens præcision gør, at alle kan få flotte og lige brikker at sidde med i hænderne, sådan at de passer pænt sammen. Derudover er det vældig meget hurtigere at skære en række firkanter ud, end selv at skulle sidde og klippe.

Man kunne forestille sig andre figurer, som eleverne også kunne undersøge. Jeg vil gerne slå et slag for, at vi med laserskæreren lader eleverne få andre figurer i hænderne end de pæne geobrikker, som jo er regulære polygoner. Det gør noget mere ved vinkelræsonnementerne i fladedækning, at det netop ikke er samme størrelse vinkel i den polygon, man sidder med. Man får også mulighed for at få nogle konkrete erfaringer med, hvordan man tesselerer, når figuren ikke har lige lange sider, så må man nemlig
vende og dreje efter et særligt system, men det kan læseren jo selv afprøve. Brikkerne kan skæres i andre materialer end akryl. Jeg har fx også eksperimenteret med at
skære i kraftigt karton, fx bagsiderne fra A4- blokke − det giver også nogle ret lækre brikker, som har en anden robusthed over sig end dem, vi kan klippe i papir og  almindeligt karton.

Inden for geometriens verden findes et hav af visuelle arealbeviser eller klippebeviser. Disse beviser tænker jeg, at man kan laserskære og  gøre til puslespil lidt på samme måde som mit eksempel med Pythagoras’ puslespillene. At et parallelogram kan gøres til et rektangel, et trapez til en trekant, cirklen til et parallelogram mm. kan gøres til genstand for gode forklaringer og argumenter, som eleverne skal komme op med. Disse forklaringer vil trække på viden om egenskaber om figurerne, som eleverne kan få mulighed for at sanse taktilt gennem netop sådanne brikker.

Figur 8 (parallelogram, som kan omformes til rektangel, og trapez, som kan omformes til trekant)

Hvis din skole har makerteknologier stående, vil jeg opfordre til, at fagteamet sammen er nysgerrige på, hvilke konkrete materialer det kunne være berigende for eleverne på din skole at få i fingrene. Jeg taler her ikke om at kopiere de gængse materialer, som man kan købe forskellige steder. Jeg støder på lærere, som vil kopiere pladsværdibrikker, numicons o.lign. Det kan man jo godt, men jeg vil hellere opfordre til at tænke ud af boksen og tænke i noget, der kan berige det, I netop står med.

Hvad kunne det hjælpe eleverne at få i hænderne, så de kan sanse og mærke det selv? Hvordan kan jeg understøtte mine elevers forståelse, og hvilken matematik er der brug for, at jeg bygger bro til, for at det konkrete materiale giver mening for dem? Hvilke spørgsmål skal jeg stille, hvilke forudsætninger skal de have? osv. Måske er det ikke alle elever i klassen, der har brug for at få noget konkret, men nogle gange kan flere, end vi måske regner med, faktisk have glæde af det repræsentationsformat, som det konkrete tilbyder. Så uanset om det er tiltænkt hele klassen eller en gruppe, så overvej til dine forløb, om der er noget, der med fordel kan repræsenteres fysisk. Jeg har  foreløbigt mest kastet mig over geometriens verden, men det betyder ikke, at der ikke er potentialer i andre stofområder også.

Matematiklærerne på årgangen kan helt sikkert understøtte hinanden her, og fagteamet kan være til god hjælp og sparring. Og før I får set jer om, har I måske fået  produceret en hel masse af jeres egne materialer, som skaber glæde og motivation i undervisningen.

Mine bedste tips til at komme i gang er, at bruge GeoGebra til at konstruere og skabe det, der skal laserskæres. Derfra er det bedst at starte med en prototype i fx pap. Vent med at skære i akryl eller træ, til du er sikker på, at designet holder. Du finder flere tips til at komme fra GeoGebra til laserskærer i artiklen fra Nr. 6 2024.

Spørg eleverne og inviter dem med ind, når du prøver noget af. Fortæl dem, at du har brug for at høre, hvordan de oplevede, det var, at arbejde med det materialer, du præsenterer dem for. Måske bliver du overrasket over, hvor fedt de syntes, det var. Min første tanke med puslespillene og de to 8. klasser var, at de ville synes, det var for barnligt. Det syntes de på ingen måde, og det var tydeligt, at de virkelig godt kunne lide at have noget konkret i hænderne. Så jeg vil give opfordringen videre.

Hvis du er helt ny i makerteknologier, kan du måske finde hjælp og støtte her på cfumaker.dk. Ellers er du velkommen til at sende mig en mail
også. (rstk@ucl.dk)

God arbejdslyst med materialefremstillingen.

Clements, D. (2000). ‘Concrete’ Manipulatives, Concrete Ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, 1.
https://doi.org/10.2304/ciec.2000.1.1.7

Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. Second Handbook of Research in Mathematics Teaching and Learning, 2.